这是一篇关于BCH编码解码的论文，以及相关的名词解释，作为学习笔记用。

0x00 名词解释

1.环

在代数结构中，环（ring）是一个重要的概念，它是一个集合配上两种运算——加法和乘法，并满足某些特定的性质。环概念是代数学的基础之一，广泛应用于数学的各个分支。下面是环的定义和一些相关的性质。

环的定义

一个环R 是一个集合，配备了两种二元运算：加法 + 和乘法 ⋅，使得对于所有$a,b,c∈R$，以下性质成立：

1. 加法的群性质：
   • 结合律：$(𝑎+𝑏)+𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐)$。
   • 交换律：$𝑎+𝑏=𝑏+𝑎$。
   • 存在加法单位元：存在一个元素 $0∈𝑅$，使得对于所有 $𝑎∈𝑅$，有 $𝑎+0=𝑎$。
   • 存在加法逆元：对于每个 $𝑎∈𝑅$，存在一个元素 $−𝑎∈𝑅$，使得 $𝑎+(−𝑎)=0$。
2. 乘法的半群性质：
   • 结合律：$(𝑎⋅𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)$。
3. 乘法对加法的分配律：
   • 左分配律：$𝑎⋅(𝑏+𝑐)=𝑎⋅𝑏+𝑎⋅𝑐$。
   • 右分配律：$(𝑎+𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅𝑐+𝑏⋅𝑐$。

环的类型

根据一些附加性质，环可以进一步分类为不同的类型：

1. 交换环：
   • 如果乘法满足交换律 $𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎$，则称 R 为交换环（commutative ring）。
2. 有单位元的环：
   • 如果存在一个乘法单位元 $1∈𝑅$（即对于所有 $𝑎∈𝑅$，有 $𝑎⋅1=𝑎$ 和 $1⋅𝑎=𝑎$），则称 R 为有单位元的环（ring with unity）。
3. 整环：
   • 如果 R 是交换环并且没有零因子（即 $𝑎⋅𝑏=0$蕴含 $𝑎=0$或 $𝑏=0$），则称 R 为整环（integral domain）。
4. 域：
   • 如果 R 是一个整环，并且每个非零元素都有乘法逆元，则 R* 是一个域（field）。

例子

1. 整数环 Z：
   • 整数集 Z 配上通常的加法和乘法，构成一个有单位元的交换环。
2. 多项式环 $𝑅[𝑥]$：
   • 实数域 R 上的多项式集 $𝑅[𝑥]$ 配上多项式的加法和乘法，构成一个有单位元的交换环。
3. 矩阵环 $M𝑛(𝑅)$：
   • $𝑛×𝑛$的实数矩阵集合 $𝑀𝑛(𝑅)$配上矩阵加法和乘法，构成一个有单位元的环，但乘法一般不满足交换律。
4. 剩余类环 $𝑍/𝑛𝑍$：
   • 整数模 $𝑛$的剩余类集合 $𝑍/𝑛𝑍$​ 配上加法和乘法，构成一个有单位元的交换环。

个人理解环是一个集合，只是要求了各种性质。

2.整环

整环（integral domain）是代数结构中的一种特殊类型的环，它具备没有零因子（no zero divisors）的性质。整环是抽象代数学中的一个重要概念，因为它提供了许多代数运算和性质的基础。

整环的定义

一个环 R 被称为整环，如果它满足以下条件：

1. 环的性质：
   • R 是一个交换环，即在 R 中的加法和乘法运算满足交换律和结合律，并且乘法对加法是分配的。
   • R 中存在加法单位元 0 和乘法单位元 1，并且 1≠0。
2. 没有零因子：
   • 对于 R 中任意两个元素 a 和 b，如果 ab=0，则 a=0 或 b=0。

例子

1. 整数环 Z：
   • 整数集 Z 形成一个整环，因为它满足上述所有条件，并且没有零因子。
2. 多项式环 𝐹[𝑥]，其中 𝐹 是一个域：
   • 多项式环 𝐹[𝑥] 也是一个整环，因为在多项式的乘法中，如果两个多项式的积为零，则其中至少有一个是零多项式。
3. 有理数环 𝑄、实数环 𝑅 和复数环 𝐶：
   • 这些数集都形成整环，因为它们中的乘法没有零因子。

性质

整环具有一些重要的代数性质：

1. 可消性：
   • 在整环中，如果 𝑎≠0 且 𝑎𝑏=𝑎𝑐，那么 𝑏=𝑐。这是因为没有零因子，所以可以消去 𝑎。
2. 单子的性质：
   • 整环中的每个元素 𝑎和 𝑏，如果 𝑎𝑏=1，则 𝑎和 𝑏是环中的单位元素，即它们都有乘法逆元。
3. 子环的性质：
   • 整环的子环（包含单位元且封闭于加法和乘法）也是整环。

整环与其他代数结构的关系

1. 域（Field）：
   • 域是整环的一种特殊情况，其中每个非零元素都有乘法逆元。因此，每个域都是整环，但不是每个整环都是域。
2. 唯一分解整环（UFD）：
   • 一个整环如果满足每个非零非单位元素可以唯一地分解成不可约元素的乘积，则称为唯一分解整环。
3. 主理想整环（PID）：
   • 一个整环如果每个理想都是主理想（由单个元素生成），则称为主理想整环。

3.有限域（finite field）

有限域（finite field），也称为伽罗瓦域（Galois field），是一种只有有限个元素的代数结构。有限域广泛应用于编码理论、密码学和许多其他领域。最常见的有限域记作 GF(q)\text{GF}(q)GF(q)，其中 qqq 是域中元素的个数。

有限域的基本性质#

1. 域的定义： 有限域是一种域，因此它具备所有域的性质，包括加法、减法、乘法和除法（除法指的是乘以逆元），这些运算满足交换律、结合律和分配律。
2. 元素个数： 有限域的元素个数 qqq 必须是某个素数 ppp 的幂，即 q=pnq = p^nq=pn，其中 nnn 是正整数。最常见的有限域是元素个数为素数 ppp 的有限域，记作 GF(p)\text{GF}(p)GF(p)。

有限域的构造

元素个数为素数的有限域（ GF(p) ）

当 q=pq = pq=p 时，有限域可以简单地构造为整数模 ppp 的集合，即 {0,1,2,…,p−1}{ 0, 1, 2, \ldots, p-1 } {0,1,2,…,p−1}。在这种情况下，加法和乘法分别定义为模 ppp 运算。

例如，当 p=5p = 5p=5 时，有限域 GF(5)\text{GF}(5)GF(5) 的元素是 {0,1,2,3,4}{ 0, 1, 2, 3, 4 } {0,1,2,3,4}，运算如下：

• 加法：3+4≡2 (mod 5)3 + 4 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 5)3+4≡2 (mod 5)
• 乘法：2×3≡1 (mod 5)2 \times 3 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5)2×3≡1 (mod 5)

元素个数为 pnp^npn 的有限域（ GF(pn)\text{GF}(p^n)GF(pn) ）

当 q=pnq = p^nq=pn 时，这样的有限域比 GF(p)\text{GF}(p)GF(p) 更复杂。可以通过多项式构造来定义这样的有限域。具体来说，选择一个不可约多项式 f(x)f(x)f(x) 在 GF(p)\text{GF}(p)GF(p) 上，次数为 nnn。该有限域的元素可以表示为模 f(x)f(x)f(x) 的多项式集合，其阶数小于 nnn。

例如，当 p=2p = 2p=2 且 n=3n = 3n=3 时，可以选择不可约多项式 f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1f(x)=x3+x+1。有限域 GF(23)\text{GF}(2^3)GF(23) 的元素可以表示为： {0,1,x,x2,x3,x4,x5,x6}{ 0, 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6 }{0,1,x,x2,x3,x4,x5,x6} 在这些元素中，所有的多项式都模 f(x)f(x)f(x) 进行运算。